随机变量

随机变量：只要有随机性，那么就可以随机变量。而随机性就是你能预测所有可能性结果。
示意图
比如这道题我们可以预测X的所有结果，那么就是有随机性的。

  • X可预测为X={0,1,2,3}
  • 那么这两问就可以表示为$P(X<=2),P(X=0)$
    它能把文字表达的东西都表示成数学。
    示意图

    $$P(X>5) $$

    示意图
    这道题我们一看并没有跟数字有关的随机性，但是我们可以把某些事件用数字来表示不同的一面。

    $$P(X=1) $$

    定义：设随机试验的样本空间为 $\Omega$，$X = X(\omega)$ 是定义在样本空间 $\Omega$ 上的实值单值函数，称 $X = X(\omega)$ 为随机变量。

    一般用大写字母 $X, Y, Z, \dots$ 等表示随机变量，用小写字母 $x, y, z, \dots$ 表示随机变量的取值（实数）。
  1. 从随机事件到随机变量的概念延伸，使概率论的理论体系从静态向动态、从孤立向系统延伸
  2. 随机变量是单值函数，不同的随机变量一定对应不同的样本点，随机变量的不同取值两两互斥
  3. 随即变量X的取值有随机性，试验前可以明确X的取值范围，但不能预知实验后X的具体取值

随机变量的分布函数

分布函数的定义

设 $X$ 是一个随机变量，$x$ 是任意实数，函数

$$F(x) = P\{X \leq x\}, \quad -\infty < x < +\infty $$

称为 $X$ 的分布函数。它表示随机变量 $X$ 的取值落在实数 $x$ 左侧的概率。

  • 分布函数是一个普普通通的函数，自变量为x，和高数中研究的函数一样。
  • X的分布函数F(x)中包含了X所有取值概率的信息
  • 所有的随机变量X都有分布函数F(x)

利用分布函数计算事件概率

已知$X$的分布函数$F(x)$，有：

  • $P\{X<=a\}=F(a)$
  • $P\{X<a\}=F(a-0)$你可以理解为a－0是极限lim
    示意图

分布函数的基本性质（充要条件）

  1. 非负性：$0<=F(x)<=1$
  2. 单调性：$F(x)是x的单调不减函数，即对\forall{x_1}<x_2,有F(x_1)<=F(x_2)$
  3. 规范性：$F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty}F(x) = 0$,$F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
  4. 右连续性：$F(x_0) = F(x_0 + 0)$。

例题

示意图

  1. 结论：$a>=0,b>=0,a+b=1$
  2. 结论：$a>0,\forall{b}\in{R}$
  3. F(x)G(x)恒为分布函数
  4. 这是满足所有可能性的结论，其他的可能只能满足特定。
    求解的方式就是想办法满足上面的充要条件

说些什么吧！

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