概率论第一章

2026-03-22

随机事件与样本空间

确定性

随机性的对立是确定性，那么我们先来思考一下什么是确定性。比如说月亮绕着地球转，地球绕着太阳转，明天天一定会亮，字母表AB后一定是C，这些都是确定一定会发生的事情，也就是说只有一个结果的事件，我们就说这个事件有确定性。

随机性

那么和确定相对的就是随机性，也就是说我们事先不知道它会不会发生。比如说明天下雨啊，那么这个事情在明天到来前有多个结果，那么就是随机性。

随机试验

我么将满足以下三个特点的试验称为随机试验：

可以在相同条件下重复地进行
每次试验的可能结果不只一个，但是事先能明确试验的所有可能结果可知性
进行一次试验之前不能确定哪一个结果发生 随机性
随机试验简称试验，记作$E$

样本

样本点

样本点：试验$E$的每个不可再分的可能结果，记作ω

1
2

不可再分结果是什么呢？比如说我掷一枚骰子，我掷出1和掷出2这个最终的不可再分的结果叫做样本点
可再分结果呢？比如说我掷一枚骰子，我掷出偶数的结果就可以再分为掷出2，4，6的结果。

样本空间

所有样本点组成的集合叫做样本空间，记作Ω

注意：

样本空间至少有两个样本点
样本点为有限个体或可列无限个的样本空间称为离散样本空间；样本点个数为不可列无限个的样本空间称为连续样本空间
这里连续样本空间我们一般说可以取到区间了，就是不可列无限个
简要记忆：：整数 / 自然数是可列的，实数 / 区间 / 平面点集是不可列的。

例子

掷一枚骰子，出现的点数。——$Ω = \{1,2,3,4,5,6\}$，这个样本点的个数是有限的，很有特色的样本空间 离散样本空间
观察某短视频在一小时内的播放量。——$Ω=\{0,1,2,...\}$，这个也是有可知性的，我们确定了肯定是一个自然数。无穷可列多个样本点的样本空间 离散样本空间
某种型号机械的寿命。——$Ω=(0,+∞)或Ω=[a,b]$ 样本空间也可以取连续的区间 连续样本空间
观察某班同学的身高和体重。——$Ω=\{(x,y)|x>0,y>0\}$样本点也可以呈现出一个二维坐标点的形态 连续样本空间

随机事件

试验$E$的结果称为随机事件，简称事件，对应样本空间$Ω$的一个子集，常记作$A,B,C$等。

基本事件

由一个样本点组成的单点集，称为基本事件

不可能事件

空集$Φ$不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，$Φ$称为不可能发生事件

必然事件

样本空间$Ω$包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生的，$Ω$称为必然事件

什么是事件发生

在每次试验中，事件中有且仅有一个样本点出现，就称该事件发生。
示意图

总结

样本点：最小的 “结果颗粒”
样本空间：装所有结果的 “大盒子”
事件：从大盒子里挑出的 “部分结果组合”

事件的关系和运算

事件间的关系

包含关系

若$A⊂B$，称事件A包含于事件B（即A的样本点都在B中），表示“A如果发生，那么B必然发生”

相等关系

若$A⊂B$且$B⊂A$，记为A=B，称事件A和B相等，表示“A如果发生，则B必然发生”或“B发生，A必然发生”相等的事件含有相同的样本点

和事件（事件的并）

事件$A∪B=\{ω:ω∈A或ω∈B\}$称为事件A与事件B的和事件，也记作A+B，表示“A或B至少有一个发生”

积事件（事件的交）

事件$A∩B=\{ω:ω∈A或ω∈B\}$称为事件A与事件B的积事件，也记作A+B，表示“A和B同时发生”

差事件

事件$A-B=\{ω:ω∈A或ω∉B\}$称为事件A与事件B的差事件，也记作$A-B=A\overline B$，表示“A发生了且B不发生”

互斥（互不相容）事件

若$A∩B=Φ$，称事件A与B互不相容（或互斥），表示“事件A与事件B不能同时发生”

互逆（对立）事件

事件$A∪B=Ω$则称事件A和事件B互为逆事件（对立事件）。对每次试验而言，事件A与B中必定有一个发生，且仅有一个发生。事件A的对立事件记作$\overline A$

例题

示意图

$C$
$AB\overline C$
$AB\overline{C} \cup A\overline{B}C \cup \overline{A}BC$
$AB∪AC∪BC$

集合运算三大定律（概率论版）

交换律

$$ A \cup B = B \cup A,\quad A \cap B = B \cap A $$ --- #### 结合律 $$

分配律

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$

对偶律（德摩根律）

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} $$

直观记忆：去括号，变符号（并变交，交变并，上划线分到每个字母）。

注意

在事件运算中“加括号”“去括号”的运算规律一般不成立

古典概型（也叫古典概率)或者说二叉树的世界

什么是概率

称随机事件A发生可能性大小的度量为事件A发生的概率，记为$P(A)$

古典概型

定义：称具有以下两个特点的试验为古典概型（等可能概型）

试验E的样本空间Ω只包含有限个样本点，即$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\};$
每个样本出现的可能性相同
计算公式：若事件A由k个基本事件组成，则有：
$$P(A) = \dfrac{k}{n} = \dfrac{\text{A包含的基本事件数}}{\Omega \text{中的基本事件总数}}$$

根据古典概型公式：

$$P(A) = \frac{\text{事件}A\text{包含的基本事件数}}{\text{样本空间}\Omega\text{中的基本事件总数}} $$
我们需要分别计算：
总放法数（分母）：所有可能的放球方式
满足条件的放法数（分子）：每个盒子最多放 1 个球的放球方式

步骤 1：计算总放法数（分母）

每个球都可以独立选择 N 个盒子中的任意一个
第 1 个球：N 种选择
第 2 个球：N 种选择
…
第 n 个球：N 种选择
根据乘法原理，总放法数为：

$$\underbrace{N \times N \times \dots \times N}_{n \text{ 次}} = N^n $$

步骤 2：计算满足条件的放法数（分子）

要满足 “每个盒子最多 1 个球”，需分两步操作：

选择盒子

从 N 个盒子中选出 n 个盒子来放置这 n 个球，这是一个组合问题：

$$C_N^n = \frac{N!}{n!(N-n)!} $$

含义：从 N 个不同盒子中选出 n 个，不考虑顺序。

放置球

将 n 个不同的球放入已选出的 n 个盒子中，每个盒子恰好放 1 个球，这是一个全排列问题：

$$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 $$

含义：n 个不同元素的全排列数。

合并计算

满足条件的总放法数 = 选盒子的方法数 × 放球的方法数：

$$C_N^n \cdot n! $$

该式可化简为排列数形式：

$$C_N^n \cdot n! = \frac{N!}{n!(N-n)!} \cdot n! = \frac{N!}{(N-n)!} = P_N^n $$

步骤 3：计算概率

将分子和分母代入古典概型公式，得到最终概率：

$$p_1 = \frac{C_N^n \cdot n!}{N^n} = \frac{N!}{(N-n)! \cdot N^n} $$

几何概型（老资历）

将等可能事件的概念从有限到无限的延伸。

古典概型是有限的样本点，也就是离散样本空间。而几何概型就是非离散、连续型的样本空间。
示意图
比如我们的M落在这两个红色区间内的概率相同，都为$1/4$，长度类似于样本点的重量，这是一个度量，而这个度量与空间无关，在哪无所谓。本质就是古典概型向区间无限样本点的一个延伸

几何概型公式

几何概型的基本公式：

$$P(A) = \frac{\text{事件}A\text{对应的区域度量}}{\text{样本空间总区域度量}} $$

一般写成：

$$P(A) = \frac{m(G)}{m(\Omega)} $$

其中：

$\Omega$：样本空间（总区域）
$G$：满足条件的子区域
$m(\cdot)$：几何度量，可为长度、面积、体积

概率的概念和基本概念（现代概念计算）

频率

频率指的是在相同条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数$n_{A}$称作事件A的发生频率，比值$\frac{n_A}{n}$称为事件A发生的频率，记作$f_n(A) = \frac{n_A}{n}$.

频率的性质：

$0<=f_{n}(A)<=1$
$f_{n}(\Omega)=1$
设$A_1,A_2,A_3,...$是 $\Omega$中任意两两互斥的事件，即$A_i \cap A_j = ∅$ ,当 $i!=j$ ,有
$$f_n(A_1 \cup A_2 \cup ...) = f_n(A_1)+f_n(A_2)+...$$

概率

相同条件下的n次重复实验中，当n->$\infty$ 时，频率$f_n(A)$ 逐渐稳定于某个常数p，称此常数p为事件A发生的频率，记作P(A)＝p.

这里我们要知道，一个事件的概率为0，不代表这个事件一定不会发生

概率的公理化定义

非负性：对于每个事件A，有$P(A)>=0$
规范性：对于必然事件Ω，有$P(Ω)=1$
可列可加性：设$A_1,A_2,A_3,...$是Ω中任意两两互斥的事件，即$A_i ∩ A_j = Φ$，当i≠j，有$P(A_1∪A_2∪...) = P(A_1)+P(A_2)+...$
古典概率和几何概率都满足概率的公理化定义

概率的性质

非负性：对于任何事件A，有$0<=P(A)<=1$
规范性：$P(Φ)=0,P(Ω)=1$
有限可加性：若事件$A_1,A_2,...,A_n$两两互斥，则
$$ P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) $$
也就是说互斥之后，事件的概率相加，就是这两个事件共同发生概率之和
对立事件的概率：对于任意A，有$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
减法公式：对于任意两个随机事件A和B，有$P(A-B)=P(A)-P(AB)$。特别地，若$B\subset A$，则有$P(A - B) = P(A) - P(B) \quad \text{且} \quad P(A) \ge P(B)$
加法公式：对于任意两个随机事件A和B，有
$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

$$ \begin{align*} P(A \cup B \cup C \cup D) &= \bigl[P(A)+P(B)+P(C)+P(D)\bigr] \\ &\quad - \bigl[P(AB)+P(AC)+P(AD)+P(BC)+P(BD)+P(CD)\bigr] \\ &\quad + \bigl[P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)\bigr] \\ &\quad - P(ABCD) \end{align*} $$

概率与频率之间的区别

频率：大量试验，其中占的比例，是个精准值
概率：一次试验，A发生可能性大小，根据频率最后稳定趋向的一个数

条件概率

什么是条件概率

定义：设 $A,B$ 为两个事件，若 $P(B)>0$，称

$$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $$

为事件 $B$ 发生条件下事件 $A$ 发生的条件概率。我们可以理解为，所以我们只需要看B交A的样本点，占这里面的多少份就行了。记住概率的本质是样本点与样本空间的比值。

条件概率的性质

非负性：$0<=P(A|B)<=1$
规范性：$P(Ω|B) = 1$
可列可加性：对两两互斥的事件列$A_1,A_2,...,A_n,...$，有
$$ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \mid B\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i \mid B) $$
对立事件的概率：$P(\overline{A} \mid C) = 1 - P(A \mid C)$
加法公式：$P(A + B \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(AB \mid C)$
减法公式：$P(A - B \mid C) = P(A \mid C) - P(AB \mid C)$
乘法公式：设$A,B$为两个事件，则当$P(B)>0$时，$P(AB)=P(A)P(A|B)$
推论：设有 $n$ 个事件 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 满足 $P(A_1 A_2 \cdots A_{n-1}) > 0$，则有
$$ P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1) P(A_2 \mid A_1) P(A_3 \mid A_1 A_2) \cdots P(A_n \mid A_1 A_2 \cdots A_{n-1}) $$

事件的独立性

什么是事件独立性

定义：设A，B是两事件，如果满足等式

$$P(AB)=P(A)P(B)$$

称事件A与B相互独立，简称A，B独立。扔硬币时，每一次都是 “重新开始”，之前的结果不会给下一次带来任何信息，所以它们的概率在样本空间里的占比永远不变 → 这就是独立。

独立不是说：“B 不改变 A 可能出现哪些结果”

独立是说：“B 不改变 A 在样本空间里的占比（概率）”

定理：设$P(B)>0$，则事件A，B相互独立的充要条件的是

$$P(A|B)=P(A)$$

独立性质

若事件A与事件B相互独立，则A与$\overline{B}$，$\overline{A}$与B，$\overline{A}$与$\overline{B}$亦相互独立
任意事件都与概率为0或1的事件相互独立
若$0<P(A)<1,0<P(B)<1$，则A与B独立=>A与B不互斥，A与B互斥=>A与B不独立
三个事件的独立性称事件 $A,B,C$ 两两独立，如果满足：
$$ \begin{cases} P(AB) = P(A)P(B), \\ P(BC) = P(B)P(C), \\ P(AC) = P(A)P(C). \end{cases} $$
进一步，如果还满足等式：
$$ P(ABC) = P(A)P(B)P(C), $$
则称事件 $A,B,C$ 相互独立。
若不说明$0<P(A)<1,0<P(B)<1$，则A与B是否独立和A与B是否互斥无必然联系

注：相互独立的随机事件 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 中，任何一部分事件的和、差、积、逆运算结果都与另一部分独立。

用A,B,C事件举例子就是，如果三个事件相互独立的化，那么$A∩B$与$C$也是独立的，A与BC也是独立的

全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式（全概率公式自己推，贝叶斯公式不用背）

完备事件组

设 $\Omega$ 为某试验 $E$ 的样本空间，$B_1, B_2, \dots, B_n$ 为试验 $E$ 的一组事件。若：

(1) $B_i B_j = \emptyset \ (i \neq j,\ i,j = 1,2,\dots,n)$，（两两互斥）
(2) $\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega$，
则称 $B_1, B_2, \dots, B_n$ 为样本空间 $\Omega$ 的一个划分（或完备事件组），即每次试验中，事件$B_1,B_2,...,B_n$中必有一个且仅有一个发生

全概率公式：

设 $B_1, B_2, \dots, B_n$ 为 $\Omega$ 的一个完备事件组，且有 $P(B_i) > 0 \ (i=1,2,\dots,n)$，则对任意事件 $A$ 有

$$ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \mid B_i)P(B_i) $$

那么什么时候用到全概率公式呢？

Ω被瓜分完备 已知P(Bi)
A带着$B_i$一起发生 已知P(A|Bi)
求P(A)

贝叶斯公式（逆概公式）

设 $B_1, B_2, \dots, B_n$ 为 $\Omega$ 的一个完备事件组，且有 $P(B_i) > 0 \ (i=1,2,\dots,n)$，则对任意事件 (A) 有