离散型随机变量

离散型随机变量：若随机变量全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。

  • 离散型随机变量$X$只可能离散地、孤立地取值，一但$X$的可能取值充满一个区间，就不再是离散型。

分布律：设离散型随机变量$X$所有可能取的值为$x_1,x_2,...,x_k,...$且$X$取各个可能值的概率，即事件{$X=x_k$}的概率为：

$$P\{X=x_k\}=p_k,（k=1,2,...)$$


称上式为离散型随机变量$X$的概率分布火分布律。

分布律也可以用表格的形式来表示：示意图

分布律的充要条件：

  1. $p_k>=0,k=1,2,...$
  2. $全部加起来等于1$

离散型随机变量的分布函数：设离散型随机变量$X$的分布律为$P\{X=x_k\}=p_k，(k=1,2,...)$，由概率的可列可加性得$X$的分布函数为

$$F(x) = P\{X \leq x\} = \sum_{x_k \leq x} P\{X = x_k\} = \sum_{x_k \leq x} p_k$$

但凡说离散型，那么就有分布律。但是有分布律，不一定是离散。

离散型随机变量分布

示意图
离散型随机变量我们将会讲很多分布方式，而这里我们要着重了解二项分布，而其他哪几种变量都算是二项分布的亲戚关系（这么理解就行）

二项分布

定义：随即碧昂量$X$表示$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数，记每次试验中事件$A$发生的概率为$p$，则$X$的分布律为

$$P\{X = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k},\quad (k = 0,1,\cdots,n)$$


其中$0<p<1$，则称$X$服从参数为$n,p$的二项分布，记为$X-B(n,p)$

注：只有两个结果 $A$ 和 $\overline{A}$ 的试验称为伯努利（Bernoulli）试验，在相同条件下将伯努利试验独立重复进行 $n$ 次，则称为 $n$ 重伯努利试验。$n$ 重伯努利试验中，$n$ 次试验的结果相互独立，且每次试验中事件 $A$ 发生的概率相同。

0-1分布和几何分布

0-1分布（两点分布）：

设随机变量$X$只可能取0与1两个值，它的分布律为

$$P\{X = k\} = p^k (1-p)^{1-k},\ k = 0,1,\ (0 < p < 1)$$


或者示意图
则称$X$服从参数为$p$的(0-1)分布或两点分布。其实也就是n取1时候的二项分布

几何分布

可列重伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为$p$，随机变量$X$表示事件$A$首次发生时的试验次数，其分布律为

$$P\{X = k\} = (1-p)^{k-1} p,\quad (k = 1,2,\cdots)$$


其中0<p<1，则称$X$服从几何分布，记作X~Ge(p)

注：几何分布是负二项分布的特例，有点像是一直干到某件事就停止，这种感觉

泊松分布与泊松定理

泊松分布

定义：设随机变量$X$所有可能取值为$0,1,2,3,...，$其分布律为

$$ P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad (k = 0,1,2,\dots) $$


其中$\lambda>0$是常数，则称$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记作$X \sim P(\lambda)$或$X \sim \pi(\lambda)$>

在出泊松的题目时，题目当中一定会有泊松两个字，我们来看这道例题：
例题
我们直接来看X，可以解出$\lambda$示意图
接着带入X=1就能解出来了示意图

泊松定理

泊松定理：设 $\lambda > 0$ 是一个常数，$n$ 是任意正整数，设 $\lambda = np_n$，则对于任意固定的非负整数 $k$ 有

$$ \lim_{n \to \infty} P\{X = k\} = \lim_{n \to \infty} C_n^k p_n^k (1-p_n)^{n-k} \approx \frac{(np_n)^k}{k!} e^{-np_n} \quad (k = 0,1,2,\dots) $$


示意图
我们可以得到以下这个：示意图
当然如果我们写题目的话，必须得出题人让你用你才能用，要不然继续使用二项分布计算。

  • 泊松定理直观解释：设一段时间内事件 $A$ 发生的次数 $X \sim P(\lambda)$ 表示，不妨记这段时间为 $[0,1]$ 并等分成 $n$ 段（$n$ 很大），每段时长 $\frac{1}{n}$。近似认为每段时间内 $A$ 发生的概率与时长成正比，即取 $p_n = \frac{\lambda}{n}$，且因为 $\frac{1}{n}$ 足够短，$A$ 在每段时间内不可能发生两次以上。故每段时间内 $A$ 是否发生可近似视作伯努利试验，$X$ 近似服从$B\left(n, \frac{\lambda}{n}\right)$，当 $n \to \infty$ 时在数学上严格成立。

  • 一般当 $n$ 很大（$n \geq 20$），$p$ 很小（$p \leq 0.05$）时，二项分布 $B(n,p)$ 用泊松分布作近似效果较好。

超几何分布

超几何分布 若随机变量 $X$ 的分布律为

$$ P\{X = k\} = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}, \quad k = \max\{0, n-N+M\}, \dots, \min\{n, M\} $$

其中 $M,N,n$ 都是正整数，则称 $X$ 服从参数为 $M,N,n$ 的超几何分布，记作 $X \sim H(n,M,N)$（无放回抽样）。

  • 超几何分布的背景——设 $N$ 件产品中有 $M$ 件次品，从中无放回取 $n$ 次，则取到次品数 $X$ 服从超几何分布 $H(n,M,N)$
  • 当 $n$ 和 $\displaystyle \frac{M}{N}$ 固定，$N \to \infty$ 时，$X$ 近似服从二项分布 $X \sim B\left(n, \frac{M}{N}\right)$。其实就是数据量足够大的时候，取一个完全不影响
    其实本质就是无放回抽样，也就是说一次取n件

说些什么吧！

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