概率论第二章-连续性随机变量的概念与性质

连续型随机变量及其概率密度

定义对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，如果存在非负可积函数 $f(x)$，使对任意实数 $x$ 有

$$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt $$

则 $X$ 称为 连续型随机变量，其中 $f(x)$ 称为 $X$ 的 概率密度函数，简称 概率密度。

我们之前学习的都是比如是掷骰子，取1，2，3，4，5，6这几个特定值，这并不是连续的，是离散的，而我们要学习的就是另一个极端，没有间隙。也就是如图所示求面积：

注：

• 连续型 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 包含了 $X$ 所有取值概率的信息。
• 由定义知，改变概率密度 $f(x)$ 在有限点的函数值不影响分布函数 $F(x)$ 的取值，因此，并不在乎改变概率密度在有限点的值。
• 若不计高阶无穷小，有

  $$P\{x < X \leq x + \Delta x\} = F(x + \Delta x) - F(x) \approx f(x)\Delta x$$

  即 $f(x)$ 的大小能反映出 $X$ 在 $x$ 邻域内取值概率的大小（“连续化的分布律”）。
• 当我们提到一个随机变量 $X$ 的概率分布时，指的是它的分布函数，或者，当 $X$ 是连续型随机变量时，指的是它的概率密度，当 $X$ 是离散型随机变量时，指的是它的分布律。
• $f(x)$ 不一定连续（只需可积）。

连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 的性质

连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 是 $x$ 的 连续函数，即对任意 $a \in R$，有
$P\{X = a\} = 0$,

$$P\{a < X \leq b\} = P\{a \leq X < b\} = P\{a < X < b\} = P\{a < X < b\}.$$

注：分布函数 $F(x)$ 不连续的随机变量 $X$ 一定不是连续型随机变量。其实这个就已经说明了，当我就精准的取一个点的时候，面积几乎为0。

概率密度 $f(x)$ 的性质：(前两个是充要条件)

• 非负性：$f(x) \geq 0$。

• 规范性：

  $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1. $$

• 对于任意实数 $a, b$，$a \leq b$，有

  $$P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) dx. $$

• 若 $f(x)$ 在点 $x$ 连续，则有 $F'(x) = f(x)$。如果不连续的话，那么F’(x)不可导，f(x)可以随便取