均匀分布

它的样子一定是一段是常数一段是0。

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a < x < b, \\[6pt] 0, & \text{其他}, \end{cases} $$

则称 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从均匀分布，记为 $X \sim U(a,b)$。

$X$ 的分布函数为

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x < a, \\[6pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a \leq x < b, \\[6pt] 1, & x \geq b. \end{cases} $$

指数分布

指数分布：设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0, \\ 0, & x \le 0, \end{cases} $$

其中 $\lambda > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X \sim E(\lambda)$。

$X$ 的分布函数为

$$F(x)= \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases} $$

一些计算技巧：当 $a>0$，且 $X \sim E(\lambda)$

$$P\{X > a\} = 1 - F(a) = e^{-\lambda a} $$

指数函数具有无记忆性，我从头开始使用一个物品>=10小时的概率，等于我已经用了2h后再用>=10小时的概率。

正态分布（公式直接背）

正态分布：设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty $$

其中 $\mu, \sigma(\sigma>0)$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\mu, \sigma$ 的正态（Normal）分布或高斯（Gauss）分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

正态分布图形的性质：

  1. 曲线关于 $x=\mu$ 对称，且当 $x=\mu$ 时，$f(x)$ 取最大值：

    $$f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} $$

  2. 曲线以 $Ox$ 轴为水平渐近线。

正态分布曲线示意图（ASCII）

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10
        y
        |
        |        .--.
        |      .'    `.
        |     /        \
        |    /          \
        |   /            \
        |  /              \
--------+------------------→ x
        |       μ

正态分布的常用结论：

  1. $P\{X > \mu\} = P\{X < \mu\} = \dfrac{1}{2}$

  2. $Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2), a \neq 0$，即正态随机变量的一次函数仍服从正态分布。

  3. $3\sigma$ 原理（了解）：$$
    \begin{align*}
    P{\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma} &= 0.6827 \
    P{\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma} &= 0.9545 \
    P{\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma} &= 0.9973
    \end{align*}

    $$$$

  4. 定义：当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，称 $X$ 服从标准正态分布，记为 $X \sim N(0,1)$，其概率密度为

    $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad -\infty < x < +\infty $$

    分布函数用 $\Phi(x)$ 表示。

  5. 正态分布的标准化：
    若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

    $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) $$

注：正态分布标准化证明

证明 设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则

$$\begin{align*} F_Z(z) &= P\{Z \le z\} \\ &= P\left\{ \frac{X - \mu}{\sigma} \le z \right\} \\ &= P\{X \le \sigma z + \mu\} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\sigma z + \mu} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{t^2}{2}} dt \\ &= \Phi(z) \end{align*} $$

若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $X$ 的分布函数为

$$F(x) = P\{X \le x\} = P\left\{ \frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{x - \mu}{\sigma} \right\} = \Phi\left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right) $$

这个其实很好证明，X和x同时减和除同一个数，在逻辑上，只要X<=x的发生，那么这个也会必定发生，所以概率本身是没有变的。

若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则区间概率公式为：

$$P\{a < X \le b\} = P\left\{ \frac{a-\mu}{\sigma} < \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{b-\mu}{\sigma} \right\} = \Phi\left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) $$

这个可以根据上面那个推出来的。

标准正态分布的性质：

  • $\Phi(-a) = 1 - \Phi(a),\ \forall a \in \mathbb{R}$；
  • $\Phi(0) = \dfrac{1}{2}$；
  • $P\{|X| \le a\} = 2\Phi(a) - 1$，其中 $a > 0$。

示意图

说些什么吧！

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