概率论第三章-二维随机变量及其分布

二维随机变量及其联合分布函数

基本定义

• 一维随机变量 $X$ 的分布函数：

  $$F(x) = P\{X \le x\}$$

• 二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数：

  $$F(x,y) = P\{X \le x,\ Y \le y\}$$

• 几何意义：$F(x,y)$ 表示随机点 $(X,Y)$ 落在以 $(x,y)$ 为顶点、左下方无穷矩形区域内的概率。
  

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核心性质

1. 取值范围与边界条件

   • 有界性：$0 \le F(x,y) \le 1$
   • 边界极限：

     $$\begin{align*} F(-\infty,\ y) &= 0 \\ F(x,\ -\infty) &= 0 \\ F(-\infty,\ -\infty) &= 0 \\ F(+\infty,\ +\infty) &= 1 \end{align*} $$

2. 单调不减性

   • 关于 $x$ 单调不减：固定 $y$，若 $x_1 < x_2$，则 $F(x_1,y) \le F(x_2,y)$
   • 关于 $y$ 单调不减：固定 $x$，若 $y_1 < y_2$，则 $F(x,y_1) \le F(x,y_2)$

3. 右连续性

   • 关于 $x$ 右连续：$F(x+0,\ y) = F(x,\ y)$
   • 关于 $y$ 右连续：$F(x,\ y+0) = F(x,\ y)$
   • 注：$F(x+0,\ y)$ 表示 $x$ 从右侧趋近时的极限，等于该点的定义值。

4. 矩形区域概率非负性

   • 对任意 (x_1 < x_2)，(y_1 < y_2)，有：

     $$F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) \ge 0 $$

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常见概率计算公式

1. 矩形区域概率：

   $$\begin{align*} P\{x_1 < X \le x_2,\ y_1 < Y \le y_2\} &= F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) \end{align*} $$

2. 半无穷区域概率（仅 (X) 有界）：

   $$P\{x_1 < X \le x_2,\ Y \le y\} = F(x_2, y) - F(x_1, y) $$

3. 半无穷区域概率（仅 (Y) 有界）：

   $$P\{X \le x,\ y_1 < Y \le y_2\} = F(x, y_2) - F(x, y_1) $$

   这个地方的画自己画个图就出来了，练练就好。另外就是注意画图时候实线和虚线的区别

例题

答案

二维离散型随机变量联合概率分布

本质就是X的所有可能+Y的所有可能就是一共可能出现的可能性，然后比上就好了，不如说两者是独立存在的。

答案，注意联合分布表怎么画

定义

称

$$P\{X = x_i,\ Y = y_j\} = p_{ij},\quad i,j = 1,2,\dots $$

为二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布，也称为 $X$ 与 $Y$ 的联合概率分布。

• 含义：描述了随机变量 $X$ 取 $x_i$ 且 $Y$ 取 $y_j$ 时的概率。
• 直观理解：由 $(X,Y)$ 的所有可能取值，及其对应的概率组成。

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联合分布的两大核心性质（验证标准）

1. 非负性

   $$p_{ij} \ge 0,\quad \forall\ i,j $$

   （所有概率值必须大于或等于0）

2. 归一性（规范性）

   $$\sum_{i}\sum_{j} p_{ij} = 1 $$

   （所有可能情况的概率之和为1，常用于求解分布中的待定常数）

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二维离散型随机变量联合分布表

表 3-1 是二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布表，它用表格形式完整呈现了 $X$ 与 $Y$ 所有可能取值的组合及其对应的概率。

$X \backslash Y$	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_j$	$\dots$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\dots$	$p_{1j}$	$\dots$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\dots$	$p_{2j}$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\dots$	$\vdots$	$\dots$
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\dots$	$p_{ij}$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\dots$	$\vdots$	$\dots$

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例题

答案

答案