边缘分布函数（通用概念）

核心定义回顾

二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数：

$$F(x,y) = P\{X \le x,\ Y \le y\} $$

边缘分布函数公式

$X$ 的边缘分布函数 $F_X(x)$

$$F_X(x) = P\{X \le x\} = P\{X \le x,\ Y < +\infty\} = F(x, +\infty) = \lim_{y \to +\infty} F(x,y) $$

$Y$ 的边缘分布函数 $F_Y(y)$

$$F_Y(y) = P\{Y \le y\} = P\{X < +\infty,\ Y \le y\} = F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} F(x,y) $$

直观理解

  • 边缘分布函数，本质上是把联合分布函数中，另一个变量的范围扩展到“全体实数”，从而消去它的影响，得到单个变量的分布。
  • 从几何上看：
    • $F_X(x)$ 表示随机点落在“直线 $x$ 左侧的整个半平面”的概率；
    • $F_Y(y)$ 表示随机点落在“直线 $y$ 下方的整个半平面”的概率。
      示意图

二维连续型随机变量的边缘密度

$f(x,y)$是概率密度，表示的是这一点的概率浓度。因为在连续变量中，单个点的概率是0，所以我们需要很小的一段线或者面积来，乘以这里的概率浓度，得到的才是这里的概率。一般可以用1 ÷ 面积获得。

核心公式

设二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$，则：

  1. $X$ 的边缘概率密度：

    $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy $$

  2. $Y$ 的边缘概率密度：

    $$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx $$

公式的本质与几何意义

  • 本质：从二维联合分布中，消去一个变量的影响，得到单个变量的一维概率密度。

    • 对 $y$ 积分（求 $f_X(x)$）：固定 $x$，将 $y$ 的所有可能取值的联合密度“加总”，消去 $Y$，只保留 $X$ 的分布信息。
    • 对 $x$ 积分（求 $f_Y(y)$）：固定 $y$，将 $x$ 的所有可能取值的联合密度“加总”，消去 $X$，只保留 $Y$ 的分布信息。

  • 几何意义：
    黑板右侧的三维示意图，直观展示了这个过程：

    • 联合密度 $f(x,y)$ 是三维空间中的曲面；
    • 对 $y$ 积分，相当于沿 $y$ 轴方向“压平”曲面，得到的投影曲线就是 $f_X(x)$；
    • 对 $x$ 积分，相当于沿 $x$ 轴方向“压平”曲面，得到的投影曲线就是 $f_Y(y)$。
      示意图

      $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$$ 这个积分的几何意义，就是**沿$y$轴方向，把曲面$z=f(x,y)$压平到XOZ平面上**。 $$

      $f(x,y)$：三维空间中的概率密度曲面：

  • $f_X(x)$：沿$y$轴压扁，落在XOZ面的曲线

  • $f_Y(y)$：沿$x$轴压扁，落在YOZ面的曲线

例题一

题目

设随机变量 $(X,Y)$ 在圆域 $G = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le R^2\}$ 上服从均匀分布，求 $X, Y$ 的边缘密度。示意图

1. 联合概率密度

$$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{\pi R^2}, & x^2 + y^2 \le R^2 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

2. $X$ 的边缘密度 $f_X(x)$

$$f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{2\sqrt{R^2 - x^2}}{\pi R^2}, & |x| \le R \\[6pt] 0, & |x| > R \end{cases} $$

推导过程：

  • 当 $|x| > R$ 时，$f(x,y) = 0$，故

    $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} 0 \, dy = 0 $$

  • 当 $|x| \le R$ 时，$y \in [-\sqrt{R^2-x^2}, \sqrt{R^2-x^2}]$，故

    $$f_X(x) = \int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} \frac{1}{\pi R^2} \, dy = \frac{1}{\pi R^2} \cdot 2\sqrt{R^2-x^2} = \frac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2} $$

3. $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$

$$f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{2\sqrt{R^2 - y^2}}{\pi R^2}, & |y| \le R \\[6pt] 0, & |y| > R \end{cases} $$

推导过程：

  • 当 $|y| > R$ 时，$f(x,y) = 0$，故

    $$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} 0 \, dx = 0 $$

  • 当 $|y| \le R$ 时，$x \in [-\sqrt{R^2-y^2}, \sqrt{R^2-y^2}]$，故

    $$f_Y(y) = \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}} \frac{1}{\pi R^2} \, dx = \frac{1}{\pi R^2} \cdot 2\sqrt{R^2-y^2} = \frac{2\sqrt{R^2-y^2}}{\pi R^2} $$

列题二

题目

设随机变量 $(X,Y)$ 在矩形区域 $D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ c\le y\le d\}$ 上服从均匀分布，求联合密度与边缘密度。
示意图

1. 区域面积

矩形区域面积：

$$S=(b-a)(d-c) $$

2. 联合概率密度

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{(b-a)(d-c)}, & a\le x\le b,\ c\le y\le d \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

3. $X$ 的边缘密度 $f_X(x)$

  • 当 $a\le x\le b$ 时：

    $$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\int_{c}^{d}\frac{1}{(b-a)(d-c)}dy=\frac{1}{b-a} $$

  • 当 $x<a$ 或 $x>b$ 时：$f(x,y)=0$，故 $f_X(x)=0$

因此：

$$f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

4. $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$

  • 当 $c\le y\le d$ 时：

    $$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}\frac{1}{(b-a)(d-c)}dx=\frac{1}{d-c} $$

  • 当 $y<c$ 或 $y>d$ 时：$f(x,y)=0$，故 $f_Y(y)=0$

因此：

$$f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{d-c}, & c\le y\le d \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

例题三

设随机变量 $(X,Y)$ 在由 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的区域 $G$ 上服从均匀分布，求：
(1) 区域 $G$ 的面积与联合概率密度；
(2) $X$ 的边缘密度 $f_X(x)$；
(3) $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$。

(1) 区域面积与联合概率密度

区域 $G$ 由 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
面积：

$$S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left. \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right) \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$

联合概率密度：

$$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{S} = 6, & (x,y) \in G \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

(2) $X$ 的边缘密度 $f_X(x)$

当 $0 \le x \le 1$ 时，$y$ 的取值范围为 $x^2 \le y \le x$：

$$f_X(x) = \int_{x^2}^{x} 6 \, dy = 6(x - x^2) $$

因此：

$$f_X(x) = \begin{cases} 6(x - x^2), & 0 \le x \le 1 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

(3) $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$

当 $0 \le y \le 1$ 时，$x$ 的取值范围为 $y \le x \le \sqrt{y}$（因 $0 \le y \le 1$ 时 $\sqrt{y} > y$）：

$$f_Y(y) = \int_{y}^{\sqrt{y}} 6 \, dx = 6(\sqrt{y} - y) $$

因此：

$$f_Y(y) = \begin{cases} 6(\sqrt{y} - y), & 0 \le y \le 1 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

注意

若 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\Rightarrow X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\ Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$。即二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。（记住结论）

但，反之不然，由 $X,Y$ 都服从正态分布 $\nRightarrow (X,Y)$ 服从二维正态分布。
若 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\ Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立 $\Rightarrow (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,0)$。

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