离散型随机变量的条件分布

联合分布表 $(X,Y)$

$X \setminus Y$ $0$ $1$ 边缘和 $P_{i\cdot}$
$1$ $0.2$ $0.3$ $0.5$
$2$ $0.1$ $0.4$ $0.5$
边缘和 $P_{\cdot j}$ $0.3$ $0.7$ $1$

条件概率计算示例

已知 $X=1$ 时，$Y$ 的条件分布

  • $P\{Y=0 \mid X=1\} = \dfrac{P\{X=1,Y=0\}}{P\{X=1\}} = \dfrac{0.2}{0.5} = 0.4$
  • $P\{Y=1 \mid X=1\} = \dfrac{P\{X=1,Y=1\}}{P\{X=1\}} = \dfrac{0.3}{0.5} = 0.6$

对应的条件分布表：

$Y$ $0$ $1$
$P\{Y \mid X=1\}$ $0.4$ $0.6$

已知 $Y=0$ 时，$X$ 的条件分布

  • $P\{X=1 \mid Y=0\} = \dfrac{P\{X=1,Y=0\}}{P\{Y=0\}} = \dfrac{0.2}{0.3} = \dfrac{2}{3}$
  • $P\{X=2 \mid Y=0\} = \dfrac{P\{X=2,Y=0\}}{P\{Y=0\}} = \dfrac{0.1}{0.3} = \dfrac{1}{3}$

条件分布公式

  • $P\{X=x_i \mid Y=y_j\} = \dfrac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}} = \dfrac{p_{ij}}{P_{\cdot j}}$
  • $P\{Y=y_j \mid X=x_i\} = \dfrac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}} = \dfrac{p_{ij}}{P_{i\cdot}}$

例题

示意图
答案

连续型随机变量的条件密度

条件密度的定义

  • 给定 $y$，若 $f_Y(y) > 0$，则 $X$ 在 $Y=y$ 条件下的条件密度：

    $$f_{X|Y}(x \mid y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} $$

  • 给定 $x$，若 $f_X(x) > 0$，则 $Y$ 在 $X=x$ 条件下的条件密度：

    $$f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} $$

条件密度的性质

  1. 非负性与归一性：

    $$f_{X|Y}(x \mid y) \ge 0, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X|Y}(x \mid y) \, dx = 1 $$

  2. 分布间的推导关系：

    $$f(x,y) \rightleftharpoons f_X(x), f_Y(y) \rightarrow f_{X|Y}(x \mid y), f_{Y|X}(y \mid x) $$

    其中，联合密度 $f(x,y)$ 可由边缘密度和条件密度还原：

    $$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_{Y|X}(y \mid x) = f_Y(y) \cdot f_{X|Y}(x \mid y) $$

  3. 独立性条件：
    若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则：

    $$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) $$

    此时条件密度退化为边缘密度：

    $$f_{X|Y}(x \mid y) = f_X(x), \quad f_{Y|X}(y \mid x) = f_Y(y) $$

例题，二维均匀分布（圆域）的条件密度

题目设定

设随机变量 $(X,Y)$ 在圆域 $G=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2\}$ 上服从均匀分布，求条件概率密度。

联合概率密度

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{\pi R^2}, & x^2+y^2\le R^2 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

边缘概率密度

  • $X$ 的边缘密度：

    $$f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2}, & |x|\le R \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

  • $Y$ 的边缘密度：

    $$f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{2\sqrt{R^2-y^2}}{\pi R^2}, & |y|\le R \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

条件概率密度

(1) $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件密度 $f_{X|Y}(x|y)$

当 $|y|<R$（此时 $f_Y(y)>0$）时：

$$f_{X|Y}(x|y)= \begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{R^2-y^2}}, & -\sqrt{R^2-y^2}\le x\le\sqrt{R^2-y^2} \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

推导：

$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{\dfrac{1}{\pi R^2}}{\dfrac{2\sqrt{R^2-y^2}}{\pi R^2}}=\frac{1}{2\sqrt{R^2-y^2}} $$

(2) $X=x$ 条件下 $Y$ 的条件密度 $f_{Y|X}(y|x)$

当 $|x|<R$（此时 $f_X(x)>0$）时：

$$f_{Y|X}(y|x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{R^2-x^2}}, & -\sqrt{R^2-x^2}\le y\le\sqrt{R^2-x^2} \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

推导：

$$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{\dfrac{1}{\pi R^2}}{\dfrac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2}}=\frac{1}{2\sqrt{R^2-x^2}} $$

例题二

设随机变量 $X \sim U(0,1)$（在 $(0,1)$ 上均匀分布），当 $X=x$（$0<x<1$）时，$Y$ 在区间 $(x,1)$ 上均匀分布。求 $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$。

步骤1：写出 $X$ 的边缘密度

$$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

步骤2：写出条件密度 $f_{Y|X}(y|x)$

当 $0 < x < 1$ 时，$Y \sim U(x,1)$，故：

$$f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, & x < y < 1 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

步骤3：求联合密度 $f(x,y)$

根据条件密度公式 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_{Y|X}(y|x)$，可得：

$$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, & 0 < x < 1,\ x < y < 1 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

步骤4：求 $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$

当 $0 < y < 1$ 时：

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx = \int_{0}^{y} \frac{1}{1-x} dx $$

计算积分：

$$\int_{0}^{y} \frac{1}{1-x} dx = -\ln(1-x)\bigg|_{0}^{y} = -\ln(1-y) + \ln(1-0) = -\ln(1-y) $$

因此：

$$f_Y(y) = \begin{cases} -\ln(1-y), & 0 < y < 1 \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases} $$

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